בגרות 582 חורף 2022 – שילוב: פרבולה ואליפסה עם מוקד משותףהנדסה אנליטית 572 · שיעור 102

בגרות 582 · חורף 2022 · שאלה 1

שיעור 102 – בגרות 582 חורף 2022 – שילוב: פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף

פרק 10 – פתרון בגרויות 582

1נוסח השאלה

2סעיף א – הפרבולה והאליפסה

3סעיף ב – הנקודות A ו־B

4סעיף ג – הנקודות C ו־D

5סעיף ד (1) – ארבע נקודות על מעגל

6סעיף ד (2) – מרכז המעגל

📄 נוסח השאלה

הנקודה (t , 0) היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. t הוא פרמטר חיובי. אורך הציר הראשי של האליפסה הוא 4t . בסעיפים שלפניכם הביעו את תשובותיכם באמצעות t , אם יש צורך.

א. מצאו את משוואת הפרבולה ואת משוואת האליפסה.

המדריך של הפרבולה חותך את האליפסה בשתי נקודות, A ו־B . הנקודה A נמצאת מעל לנקודה B .

📄 נוסח השאלה · המשך

ב. מצאו את שיעורי הנקודות A ו־B .

ישר המאונך לציר ה־x עובר במוקד הפרבולה וחותך את הפרבולה בשתי נקודות, C ו־D . הנקודה C נמצאת מעל לנקודה D .

ג. מצאו את שיעורי הנקודות C ו־D .

ד. (1) הסבירו מדוע ארבע הנקודות A , B , C ו־D נמצאות על מעגל אחד.

(2) מצאו את שיעורי מרכז המעגל הזה.

סעיף א – הפרבולה והאליפסה

הפרבולה – לפרבולה y² = 2px המוקד הוא (p2 , 0) :

p2 = t ⇒ p = 2t

📐 פרבולה קנונית

y² = 2 · 2t · x = 4tx

האליפסה – הציר הראשי 2a , והמוקד נותן c = t :

2a = 4t ⇒ a = 2t

נכתוב את הקשר ונסמן את מה שנציב:

📐 פרבולה קנונית

y² = 2px
מוקד F(p2 , 0) , מדריך x = −p2

סעיף א – הפרבולה והאליפסה · המשך

נכתוב את הקשר ונסמן את מה שנציב:

b² = a² − c²

📐 אליפסה קנונית

נציב a = 2t , c = t :

b² = (2t)² − t² = 3t²

x²4t² + y²3t² = 1

✅ פתרון סופי: y² = 4tx
x²4t² + y²3t² = 1

📐 אליפסה קנונית

x²a² + y²b² = 1
c² = a² − b²
מוקדים (±c , 0)

סעיף ב – הנקודות A ו־B

המדריך של הפרבולה:

x = −p2 = −t

📐 פרבולה קנונית

נכתוב את משוואת האליפסה ונסמן את x :

x²4t² + y²3t² = 1

נציב x = −t :

(−t)²4t² + y²3t² = 1

📐 פרבולה קנונית

y² = 2px
מוקד F(p2 , 0) , מדריך x = −p2

סעיף ב – הנקודות A ו־B · המשך

(−t)²4t² + y²3t² = 1

14 + y²3t² = 1

y²3t² = 34

y² = 94t² ⇒ y = ±1.5t

✅ פתרון סופי: A(−t , 1.5t) , B(−t , −1.5t)

סעיף ג – הנקודות C ו־D

הישר עובר במוקד (t , 0) ומאונך לציר ה־x , ולכן משוואתו x = t . נכתוב את משוואת הפרבולה ונסמן את x :

y² = 4t · x

נציב x = t :

y² = 4t · t = 4t²

y = ±2t

✅ פתרון סופי: C(t , 2t) , D(t , −2t)

סעיף ד (1) – ארבע נקודות על מעגל

הקטעים AB ו־CD מאונכים לציר ה־x , ולכן הם מקבילים זה לזה, והמרובע ABDC הוא טרפז.

הנקודות A ו־B סימטריות ביחס לציר ה־x , וגם C ו־D . לכן השוקיים שוות:

AC = √(2t)² + (0.5t)² = BD

📐 מרחק בין שתי נקודות

המרובע ABDC הוא טרפז שווה שוקיים.

AC = BD

📐 טרפז בר חסימה

לכן אפשר לחסום את הטרפז במעגל – ארבע הנקודות על מעגל אחד.

📐 מרחק בין שתי נקודות

d = √(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²

📐 טרפז בר חסימה

טרפז שווה שוקיים הוא בר חסימה במעגל

סעיף ד (1) – ארבע נקודות על מעגל · המשך

לכן אפשר לחסום את הטרפז במעגל – ארבע הנקודות על מעגל אחד.

✅ פתרון סופי: טרפז שווה שוקיים – בר חסימה

סעיף ד (2) – מרכז המעגל

ציר ה־x הוא האנך האמצעי של המיתר AB (וגם של CD), ומרכז המעגל נמצא על האנך האמצעי של כל מיתר. לכן המרכז הוא M(k , 0) .

המרכז במרחק שווה מ־A ומ־C . נשווה את ריבועי המרחקים:

MA² = MC²

📐 מרחק בין שתי נקודות

(k + t)² + (1.5t)²

= (k − t)² + (2t)²

נפתח סוגריים. k² ו־t² מופיעים בשני הצדדים ומצטמצמים:

📐 מרחק בין שתי נקודות

d = √(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²

סעיף ד (2) – מרכז המעגל · המשך

נפתח סוגריים. k² ו־t² מופיעים בשני הצדדים ומצטמצמים:

2kt + 2.25t² = −2kt + 4t²

4kt = 1.75t²

מחלקים ב־4t (t > 0):

k = 1.75t4 = 7t16

בסקיצה (עבור t = 1): הפרבולה בכחול, האליפסה בסגול, הישרים x = ±t בתכלת, הטרפז בירוק והמעגל בירוק בהיר.

סעיף ד (2) – מרכז המעגל · המשך

בסקיצה (עבור t = 1): הפרבולה בכחול, האליפסה בסגול, הישרים x = ±t בתכלת, הטרפז בירוק והמעגל בירוק בהיר.

✅ פתרון סופי: M(7t16 , 0)

📌 סיכום התשובות

סעיף א

y² = 4tx
x²4t² + y²3t² = 1

סעיף ב

A(−t , 1.5t)
B(−t , −1.5t)

סעיף ג

C(t , 2t)
D(t , −2t)

סעיף ד

M(7t16 , 0)

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא